圆中过定点的动弦的射影的一个优美性质

                                刘 舸

                （浙江省嘉兴市第一中学   314050）

笔者对圆中过定点的动弦的射影（即正投影）作了研究，得到一个关于射影最值的优美结论，现论述如下.

性质：已知圆 ，直径 、 互相垂直，点 为直线 上一定点，过点 的动直线 与圆 相交于点 、 ，动弦 在直线 上的射影为 ，则 的长 ，其中圆心 到动弦 的距离为 ， 为 .

（1）若 ，则当 时， ；

（2）若 ，则当 时， .

                                  图1

证明：如图1，过点 作弦 的垂线，垂足为 .为方便叙述，记 为 ， 为 ， 为 .由条件易知， .在三角形 中， ，所以 ，即 （ 其中 的取值范围为 或 （ ））.

.当 时， ；当 时， .所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.①若 ，则函数 在区间 上单调递增，所以 ；②若 ，则函数 在区间 上递增，在区间 （ ）上递减或在区间 （ ）上递减，无论那种情况，都有 .