圆中过定点的动弦的射影的一个优美性质
刘 舸
(浙江省嘉兴市第一中学 314050)
笔者对圆中过定点的动弦的射影(即正投影)作了研究,得到一个关于射影最值的优美结论,现论述如下.
性质:已知圆 ,直径 、 互相垂直,点 为直线 上一定点,过点 的动直线 与圆 相交于点 、 ,动弦 在直线 上的射影为 ,则 的长 ,其中圆心 到动弦 的距离为 , 为 .
(1)若 ,则当 时, ;
(2)若 ,则当 时, .
图1
证明:如图1,过点 作弦 的垂线,垂足为 .为方便叙述,记 为 , 为 , 为 .由条件易知, .在三角形 中, ,所以 ,即 ( 其中 的取值范围为 或 ( )).
.当 时, ;当 时, .所以,函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.①若 ,则函数 在区间 上单调递增,所以 ;②若 ,则函数 在区间 上递增,在区间 ( )上递减或在区间 ( )上递减,无论那种情况,都有 .